В соответствии с теорией измерений при моделировании реального явления следует прежде всего установить типы шкал, в которых измеряются или должны быть измерены те или иные переменные. Что такое шкала? Какими они бывают? Какие ограничения накладываются на числа, используемые для измерений? Как правильно пользоваться шкалами, чтобы получить достоверные первичные измерения? Какие интегральные и комплексные показатели могут быть построены на множестве измерений, выполненных в различных шкалах?
Шкалы и их классификации
Шкалы используются как для первичных измерений, так и для перевода разных измерений (в нашем случае — различных показателей) в единую шкалу. Как выбрать единую шкалу? Начнём с трёх определений.
Шкалой называют систему чисел или иных элементов и отношений между ними, принятых для измерения или оценки каких-либо величин (объектов, качеств и т. д.).
Шкалирование — это:
- выбор шкалы для первичных измерений;
- перевод измерения из одной шкалы в другую.
Нормирование (или единообразное шкалирование) — это перевод всех переменных, показателей, отражающих разные объекты измерений, в одну шкалу.
Первая классификация шкал была предложена С. Стивенсом в 1946 г. и от современной общепринятой классификации принципиально не отличается.
Шкалы, как правило, объединяют в три основные группы:
- номинальные — для качественных измерений;
- порядковые — для отражения отношения порядка (больше, лучше, важнее, проще, правильнее и т. п.);
- количественные — оперируют с числами так, как мы привыкли со школьных времен (например, 10 в 2 раза больше, чем 5).
Иногда все шкалы измерения делят на два класса:
- шкалы качественных признаков (порядковая шкала и шкала наименований);
- шкалы количественных признаков (количественные шкалы).
Далее мы последовательно разберём все типы шкал.
Как считать очки в десятиборье?
Сегодня в мужском легкоатлетическом десятиборье за удачное выступление в каждом виде спорта участнику начисляется около 1000 очков. Но какой результат, по вашему мнению, берётся за 1000? Первое, что приходит на ум, — взять за 1000 очков мировой рекорд для женщин. Но какой именно? Текущий не годится, так как он меняется, а хотелось бы иметь возможность сравнений во времени и измерять рекорды. Но допустим, мы зафиксируем раз и навсегда, за что дается 1000 очков: в прыжках в длину, например, за 7,90 м, в беге на 100 метров — за 11 секунд. Далее возникает другой вопрос: какой шаг указать? Результат 8,00 м в прыжках в длину — это 1050 или 1010 очков? И как справедливо сравнивать разные виды соревнований? Думается, у каждого специалиста будут на этот счёт своё мнение и своя шкала.
Номинальные шкалы
Номинальная шкала (nominal scale), или шкала наименований 1, сопоставляет каждый объект с определённым признаком. В результате объект либо обладает этим признаком, либо нет. Номинальная шкала состоит из названий — это самое простое и в то же время верное понимание номинальной шкалы.
Пример. Красное или чёрное — это измерение в некой цветовой гамме. Многие классификации, ответы на вопросы анкеты — всё это примеры номинальных измерений. С них начинается работа создателей сбалансированной системы показателей, а закончиться она должна цифрами. Но здесь важно не переборщить и оставить номинальные измерения только там, где они предпочтительнее формальной оцифровки.
Допустимые преобразования. В номинальной шкале допустимыми преобразованиями (см. врезку) являются все взаимно-однозначные преобразования 2. Например, red — это «красный». Никаких отношений, кроме «равно» и «неравно», здесь нет. В этой шкале числа используются лишь как метки (как, например, при сдаче белья в прачечную), то есть лишь для различения объектов.
Допустимые преобразования
Этим понятием математики строго описывают шкалы. Тип шкалы задаётся группой её допустимых преобразований.
Допустимые преобразования — это такие преобразования, которые не меняют соотношения между объектами измерения и, соответственно, выводы, сделанные по результатам измерений.Например, при измерении длины переход от аршинов к метрам не меняет соотношений между длинами рассматриваемых объектов: если первый объект длиннее второго в пять раз, то это будет установлено при измерении как в аршинах, так и в метрах. Обратите внимание, что при этом численное значение длины в аршинах отличается от длины в метрах — не меняется лишь результат сравнения длин двух объектов.
Аналогично денежные суммы можно сопоставлять как в рублях, так и в иностранной валюте. Особенность, связанная с изменяющимися курсами валют: результат сопоставления денежных сумм в разных валютах меняется во времени. С аршинами и метрами ситуация иная: их соотношение вечно. Вот вам и проблема курсовых разниц в экономике. О ней сейчас не место говорить, но запомните её.
Порядковые шкалы
Порядковая шкала отражает более высокий уровень измерений, учитывающий, к какой категории принадлежит объект и в каком отношении он находится с другими объектами. В порядковой шкале числа используются не только для различения объектов, но и для установления порядка между ними.
Пример. Простейшим примером порядковой шкалы служат оценки знаний учащихся. Символично, что в средней школе применяются оценки 2, 3, 4, 5, а в высшей школе тот же смысл выражается словесно — «неудовлетворительно», «удовлетворительно», «хорошо», «отлично». Этим подчёркивается «нечисловой» характер оценок знаний студентов.
Фактически измерение по порядковой шкале представляет собой операцию упорядочения. Предполагаются сравнения «больше — меньше» или «лучше — хуже». Например, мнения экспертов часто выражаются в порядковой шкале, то есть эксперт может сказать (и обосновать), что один показатель качества продукции важнее, чем другой; первый технологический объект опаснее, чем второй, и т. д. Но он не в состоянии сказать, во сколько раз или насколько он более важен, или, соответственно, более опасен.
Допустимые преобразования. Порядковая шкала допускает любое возрастающее преобразование, то есть такое, которое не меняет порядок шкалы.
Типы порядковых шкал. Используют два типа порядковых шкал, которые различны с практической точки зрения:
- ранговая шкала, которая предполагает присвоение объектам рангов (ранжирование);
- балльная шкала, в которой применяются баллы.
Обдумывание измерений некоторых показателей следует начать с выбора между ранговым и балльным типами шкал.
Ранговые порядковые шкалы
Ранговые шкалы — это шкалы, где числа служат только для присвоения мест. Экспертов часто просят ранжировать (упорядочить) объекты экспертизы, то есть расположить их в порядке возрастания (или убывания) интенсивности исследуемой характеристики. Ранг — это номер объекта экспертизы в упорядоченном ряду значений характеристики у различных объектов. Формально ранги выражаются числами 1, 2, 3.... Важно помнить, что измерения 1, 2, 3 и 6, 10, 50 означают одно и то же: первая альтернатива заняла первое место, вторая — второе место и т. д. В ранговых шкалах нет информации о величине различий между оцениваемыми объектами. Такие шкалы используются тогда, когда объект трудно описать несколькими характеристиками, которые потом оцениваются качественно (баллами, например) или количественно. В практике менеджмента рейтинги часто основаны на ранговых шкалах.
Ранговые измерения (процедуры ранжирования). Различают несколько основных типов алгоритмов ранжирования:
- процедура непосредственного ранжирования, когда эксперт должен просто упорядочить объекты. При ранжировании он располагает объекты в порядке предпочтения, руководствуясь знаниями, собственными соображениями и пр. — по сути, расставляет объекты в определённом порядке, пользуясь своим собственным алгоритмом и не объсняя, почему он выбрал именно этот вариант;
- процедура опосредованного ранжирования, когда эксперт должен упорядочить объекты и дать пояснения;
- процедура последовательного непосредственного ранжирования, когда эксперт сначала должен отнести объекты к одному из нескольких классов, которым заранее присвоил ранги, а затем упорядочить объекты внутри каждого класса. Метод используется при большом количестве объектов ранжирования;
- «метод пузырька» взят из программирования, где он применятется для сортировок. Эксперт должен найти место (N+1)-ого объекта в ряду уже упорядоченных N-объектов. Такая процедура весьма экономна и точна;
- процедура парных сравнений заключается в том, что эксперт устанавливает порядок объектов путём сравнения всех возможных их пар. Это самый точный, но и самый трудоёмкий метод. Перевод результатов таких парных сравнений в ранги не так прост, пример неверного перевода результатов парных сравнений в ранги приведен во врезке.
Простейший (и неверный) перевод результатов парных сравнений в ранги и в весовые коэффициенты
Заманчива идея получить весовые коэффициенты, то есть количественную меру, из порядковых измерений. Однако, как правило, такое действие некорректно — оно многозначно и потому единственный и корректный вывод для задач менеджмента невозможен. Вместе с тем оно популярно, особенно среди людей, плохо знающих математику.
Приведём пример наиболее простой и популярной модификации метода парных сравнений. Допустим, эксперт проводит оценку четырёх методов, которые связаны с решением кадровых вопросов в корпоративном проекте:
Z1 — повышение квалификации в процессе выполнения проекта;
Z2 — привлечение кадров со стороны;
Z3 — подготовка кадров в своём корпоративном университете;
Z4 — разовое повышение квалификации.
| Zi/Zj | Z1 | Z2 | Z3 | Z4 |
| Z1 | 1 | 1 | 1 | |
| Z2 | 0 | 0 | 0 | |
| Z3 | 0 | 1 | 1 | |
| Z4 | 0 | 1 | 0 |
Составим матрицу бинарных предпочтений эксперта, где 1 означает, что один метод „предпочтительнее”, чем другой, с которым он сравнивается. Определим оценку каждого метода (складываем по строкам): C1 = 3; C2 = 0; C3 = 2; C4 = 1. Получаем порядок предпочтения методов: Z1, Z3, Z4, Z2. Пока всё это корректные действия. Затем наступает черед „творчества”.
Простейший (и неверный) перевод результатов парных сравнений в весовые коэффициенты. Если нужны „веса” указанных четырёх альтернатив, то можно нормировать числа {С} и получить „веса” {v} делением каждого значения С на сумму всех Сi, равную шести: v1 = 3/6 = 0,5; v2 = 0; v3 = 0,33; v4 = 0,17. Проверка: сумма весов должна быть равна 1.
Однако анализ корректности метода даёт отрицательный результат. Дело в том, что объектам могут быть присвоены и другие веса (см. подобный пример ниже). Почему некорректно? Потому что в результате его применений вес v1 оказывается в три раза больше, чем v4, а этого эксперт, который проводил парное сравнение, не утверждал! Подделка очевидна, так как в результате обработки мы добавили весомую толику информации от себя к тому, что говорили эксперты.
Корректные методы перевода результатов парных сравнений в шкалу интервалов. Они существуют. Считая предпочтение некоторой случайной величиной, отражающей истинное соотношение характеристик объектов сравнения, можно решить задачу определения вероятности истинного соотношения сравниваемых объектов (модели Брэдли-Терри, Терстоуна-Мостеллера, Льюса и др.). Пример такого корректного перевода дан во врезке. Большого практического значения он не имеет, и чтобы понять его суть, надо хорошо знать математическую статистику 3. Но важно понимать, что такие методы существуют и у них есть обоснование, пусть и небесспорное. В результате метод парных сравнений позволяет определить значимость различий положения тех или иных объектов в иерархии, а также решать другие сходные задачи.
Корректный перевод результатов парных сравнений в интервальную шкалу
При опросе экспертов в августе 2001 г. попарно сравнивалось качество бензина в четырех компаниях: «ТНК», «Лукойл», «Юкос» и «Татнефть». При сравнениях четырёх компаний получается 6 пар для сравнения:
| Пары | Частота выбора первого элемента пары | Частота выбора второго элемента пары |
| «ТНК» — «Лукойл» | π(1,2) = 0,508 | π(2,1) = 0,492 |
| «ТНК» — «Юкос» | π(1,3) = 0,331 | π(3,1) = 0,669 |
| «ТНК» — «Татнефть» | π(1,4) = 0,990 | π(4,1) = 0,010 |
| «Лукойл» — «Юкос» | π(2,3) = 0,338 | π(3,2) = 0,662 |
| «Лукойл» — «Татнефть» | π(2,4) = 0,990 | π(4,2) = 0,010 |
| «Юкос» — «Татнефть» | π(3,4) = 0,997 | π(4,3) = 0,003 |
По результатам парных сравнений удалось выразить „качество бензина” V1, V2, V3, V4 в шкале интервалов (см. ниже). Легко заметить, что „ценности” V1, V2, V3, V4 измерены в шкале интервалов. Начало координат можно выбрать произвольно, поскольку вероятности результатов сравнения зависят только от попарных разностей „ценностей” V1, V2, V3, V4. Например, примем, что V4 = 0.
Для оценки использовалась модель Терстоуна-Мостеллера, согласно которой погрешности мнений экспертов являются независимыми, нормально распределёнными случайными величинами с нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ2. Поскольку дисперсия разности наших условных случайных величин V1, V2, V3, V4 равна 2σ2, единицу измерения удобно выбрать так, чтобы 2σ2 = 1. В результате получим следующие значения:
V1(«ТНК») = V2(«Лукойл») = 2,326348, V3(«Юкос») = 2,747781, V4(«Татнефть») = 0.
Таким образом, самый качественный бензин у «Юкоса»; несколько хуже у «ТНК» и «Лукойла», одинаковых по данному показателю, а у «Татнефти» значительно хуже тройки лидеров.
Балльные порядковые шкалы
Балльные шкалы используются очень часто, примеры мы уже приводили. Однако важно понимать, что каждому баллу необходимо присвоить качественную характеристику, в противном случае может пострадать корректность. Приведу пример: в конце 1990-х гг. я был назначен ответственным преподавателем (качество, контроль, апелляции) на устном экзамене по экономике для абитуриентов НИУ ВШЭ. Только что на ректорате ввели 10-балльную шкалу. Экспромт не удался — первый блин, как обычно, вышел комом. Моя работа заключалась, в том числе, и в „обеспечении справедливости”, то есть чтобы за примерно одни и те же ответы преподаватели в разных комиссиях ставили одинаковые баллы. Разброс в оценках оказался ужасающим — от 4 до 7 за похожие ответы. Буквально на следующий день ошибка в дефиниции шкалы была исправлена, а получившаяся шкала (см. таблица 2) успешно работает до сих пор (с небольшим изменением). Многие вузы взяли её на вооружение. Обращаю внимание читателей, что в соответствии со спецификой каждого предмета преподаватель конкретизирует шкалу.
| Балл | Качественная характеристика |
| 10 | Пять с плюсом — исключительные знания (кое-что из ответа студента даже преподаватель не знал) |
| 9 | Отлично, твёрдая пятёрка |
| 8 | Пять с минусом |
| 7 | Четыре с плюсом |
| 6 | Четыре, твёрдая четвёрка |
| 5 | Четыре с минусом |
| 4 | Три с плюсом |
| 3 | Три, твёрдая оценка «удовлетворительно» |
| 2 | Три с минусом |
| 1 | Неудовлетворительно |
Важный вопрос: какова идеальная размерность балльной шкалы? Ответ: сколько качеств, столько и баллов. Баллы обозначают упорядоченные качества, и каждому качеству присваивают свой балл. Обратное неверно: если взять за основу 10-балльную шкалу и каждому баллу попытаться „присвоить” определённое качество, то можно столкнуться с ситуацией, что качеств может оказаться не 10, а всего 7. Поэтому следует отталкиваться именно от количества качеств, которые вы можете выделить.
Балльные измерения. Балльные измерения формально просты, но коварны возможностью допустить необоснованные оценки и тем самым всё испортить. Существует два подхода к выставлению балльных оценок:
- непосредственная балльная оценка представляет собой приписывание объектам баллов на основании субъективного представления. Такая оценка используется в социологии, но в управлении компанией применяться не должна (за исключением, пожалуй, начальной стадии разработки системы показателей). Причина проста — слишком произвольно баллы приписываются объектам, трудно объяснить, почему мы по 10-балльной шкале ставим 5, а не 6, например;
- балльная оценка с обоснованием — это процедура приписывания объектам баллов на основании степени близости к описанным баллами качествам. На мой взгляд, это необходимо для корректного выставления балльных оценок. Примем следующее правило если нет обоснования логики присвоения баллов, будем считать измерение некорректным.
Перевод результатов балльных оценок в весовые коэффициенты. Если такой перевод делается одним экспертом — это операция сомнительная, но популярная. Во врезке приведён один из популярных методов — метод последовательных сравнений.
Перевод рангов в весовые коэффициенты одним экспертом. Метод последовательных сравнений
Продолжим пример, приведённый во врезке. Итак, эксперт проводит оценку четырёх целей, связанных с решением кадровой проблемы. Варианты ранжируются таким образом: Z1, Z3, Z4, Z2.Шаг 1. Все оцениваемые объекты располагаются в порядке убывания их важности. Назначаются предварительные оценки важности, сумма которых отличается от 100. При этом первый объект массива получает оценку 100, остальные — в соответствии с их важностью. Выставляем предварительные оценки (условные баллы):
p1 = 100, p3 = 60, p4 = 40, p2 = 10.
Шаг 2. Первый объект массива сравнивается со всеми возможными комбинациями нижестоящих объектов, причём в каждой комбинации берётся по два таких объекта. Считается, что комбинацию можно рассматривать как сумму, то есть оба объекта „реализуются”. При необходимости оценка первого объекта корректируется.
Выполним сравнение целей и корректировку их оценок: Z1 сравниваем с (Z3 и Z4) (то есть цель Z1 сравниваем с комбинацией Z3 и Z4), затем Z1 сравниваем с (Z3 и Z2) и так далее. Допустим, эксперт полагает, что Z1 лучше, чем Z3 и Z4 вместе взятые, но Z3+Z4 в сумме составляют 100 условных баллов, поэтому корректируем оценку: p1 = 125.
Шаг 3. Второй объект массива сравнивается со всеми возможными комбинациями нижестоящих объектов, причём в каждой комбинации снова берётся только по два таких объекта. При необходимости корректируется оценка второго объекта и т. д.
Например, Z3 сравниваем с (Z4 и Z2). Остальные сравнения не приносят ничего нового.
Шаг 4. Производятся нормирование скорректированных оценок и расчёт на их основе весов объектов. Запишем скорректированные оценки и вычислим веса целей:
p1 = 125; p3 = 60; p4 = 40; p2 = 10;
v1 = 125/сумма всех оценок = 0,54; v3 = 0,25; v4 = 0,17; v2 = 0,04.
Теперь эти веса можно использовать в аддитивной функции полезности 4.
Корректность вычислений вам предстоит оценить позже, после знакомства с количественными шкалами и оценками, получаемыми на основе измерений в них.
Количественные шкалы
Количественные шкалы отражают более высокий уровень измерений, учитывающий не только то, в каком отношении измеряемый объект находится с другими объектами, но и степень их различия. Примеры использования количественных шкал мы видим повсюду.
Допустимые преобразования. Количественные шкалы определены с точностью до преобразований, которые не меняют единицы измерения (линейных или иных функциональных преобразований).
Типы количественных шкал. Различают количественные шкалы:
- интервалов;
- степеней;
- отношений;
- разностей;
- абсолютную шкалу.
Расположение шкал в этом списке не случайно. Первая (шкала интервалов) — самая слабая по информативности и самая сильная в плане надёжности оценок, последняя (абсолютная шкала) — наиболее информативная (измерения могут быть очень надёжными), но при этом допускающая наименее надёжные оценки. Оценка степени соответствия некоторому идеалу максимально затруднена — помните разницу между оценкой и измерением?
Шкала интервалов (интервальная шкала) точно определяет величину интервала между точками на шкале. Для проведения измерений необходимо задать интервал (2 точки). Допустимыми преобразованиями в шкале интервалов являются линейные возрастающие преобразования вида: F(Х) = а · Х + b, где а > 0.
Шкала степенная. Шкала степеней (степенная) допускает степенное преобразование (F(Х) = АХВ). В области техники она вполне адекватна — у неё тоже две степени свободы, как у шкалы интервалов. В экономике она, напротив, является исключением, поэтому подробно рассматривать её не будем.
Шкала отношений. Из количественных шкал в науке и практике наиболее распространены шкалы отношений. В них есть естественное начало отсчёта — ноль (то есть отсутствие величины), но нет естественной единицы измерения.
Примеры использования шкалы отношений:
- измерение большинства физических единиц: массы тела, длины, а также цены в экономике;
- любое процентное соотношение — это измерение в шкале отношений;
- простые индексы типа Выручка текущего года/Выручка прошлого года также представляют собой измерение в шкале отношений.
Шкала отношений допускает преобразования, изменяющие только масштаб, то есть преобразования подобия: F(Х) = аХ, где а > 0 (линейные возрастающие преобразования без свободного члена).
Примеры преобразования шкалы отношений:
- пересчёт цен из одной валюты в другую по фиксированному курсу;
- перевод массы из килограмм в фунты.
Базовая точка в шкале отношений одна — «единица». Эта условная «единица» может быть, например, 100 (проценты) или 1 (доли). Таким образом, измерения в долях и процентах эквивалентны, что очевидно и без всякой теории.
Однако выводы, которые делаются по результатам процентных измерений, могут быть ошибочными (см. врезку). Возникают сопутствующие вопросы:
- встречаются ли в практике управления подобные сравнения?
- какие проценты можно сравнивать друг с другом и для чего?
- какие действия с процентами можно производить?
- какие действия можно производить с индексами?
Корректность процентных измерений. Рейтинг Путина vs стоимость свинины
- Рейтинг Путина: в январе 2014 — 60,6%, в июне 2014 — 87,4%.
- Цена свинины: в январе — 116 руб/кг, в июне — 195 руб/кг.
Вывод: по темпам роста (в научной терминологии «прироста») свинина побеждает Путина: 44% vs 68%.
Корректны ли эти измерения? Решите сами и объясните (что гораздо сложнее). Точно сформулировать, насколько такие сравнения корректны, удается лишь 10% слушателей программ МВА. Это ещё один довод в пользу изучения шкал. Хотя бы на уровне знакомства.
Шкала разностей допускает преобразование сдвига: F(Х) = Х + в. В такой шкале есть естественная единица измерения, но нет естественного начала отсчета. Базовая точка в шкале разностей тоже одна — условный „ноль”, своеобразная точка отсчёта. Пример: по шкале разностей измеряется время, если естественной единицей измерения принимаем год (или сутки — от полудня до полудня). На современном уровне знаний естественное начало отсчёта указать нельзя. Даже дату сотворения мира различные авторы рассчитывают по-разному, как и дату рождения Иисуса Христа.
Абсолютная шкала — это шкала, которая запрещает преобразования 5. Только для абсолютной шкалы результаты измерений (числа) используются в привычном смысле именно как числовые значения. В качестве примера измерений по абсолютной шкале можно привести число работников компании или выручку. При этом оценка выручки может отличаться от самой выручки (допустим, 20 млн руб. — „хорошо”, 24,5 млн руб. — „отлично”).
Кроме перечисленных шести основных типов количественных шкал, иногда используют и иные шкалы.
Степени свободы шкал
Для проведения измерений в шкалах отношений и разностей мы должны задавать одну точку. В шкале отношений она „играет роль единицы”, то есть соответствует переводу базового эмпирического элемента в единицу действительной оси. Для шкалы разностей это „нулевая точка”, то есть нужно задать отношение таким образом, чтобы „точка отсчёта” эмпирической системы превращалась в числовой ноль.
В этой связи математики различают шкалы по степеням свободы:
- 2 степени свободы имеют шкалы интервалов, степеней;
- 1 степень — шкалы отношений и разностей;
- 0 степеней — абсолютная шкала.
Иерархия шкал измерений
Напомним, что все шкалы делят на две большие группы: качественные и количественные. Наиболее распространённая классификация шкал — континуальная (рис. 3). В ней шкалы упорядочены по мере повышения их способности удовлетворять требованиям информативности и надёжности проведения оценок. Слева — самая слабая по информативности и самая надёжная, справа — наиболее информативная и наименее надёжная.
Рис. 3. Иерархия шкал измерений
* * *
В следующей части мы поговорим о том, как собственно выставлять оценки чему-либо. Хорошая обработка результатов измерений — это достоверная система оценок. А какими математическими свойствами она должна обладать? Есть ли научный ответ на этот вопрос?
Литература
Чтобы оставить комментарий пожалуйста Авторизуйтесь